Kurzfassung

Universelle Elemente sind ganz allgemein Punkte eines Raumes, deren Bilder unter einer Familie von Abbildungen jedem Punkt des Raumes beliebig nahe kommen. In den vergangenen Jahren sind insbesondere universelle Funktionen und damit zusammenhängend sogenannte hyperzyklische Operatoren in den Mittelpunkt einer ganzen Reihe von Untersuchungen gerückt. Dabei geht es typischerweise um Existenz- und Reichhaltigkeitsaussagen, d. h. Aussagen der Form, dass für gewisse Familien von Abbildungen...Universelle Elemente sind ganz allgemein Punkte eines Raumes, deren Bilder unter einer Familie von Abbildungen jedem Punkt des Raumes beliebig nahe kommen. In den vergangenen Jahren sind insbesondere universelle Funktionen und damit zusammenhängend sogenannte hyperzyklische Operatoren in den Mittelpunkt einer ganzen Reihe von Untersuchungen gerückt. Dabei geht es typischerweise um Existenz- und Reichhaltigkeitsaussagen, d. h. Aussagen der Form, dass für gewisse Familien von Abbildungen universelle Funktionen existieren und dass gegebenenfalls die Menge der universellen Funktionen in einem gewissen Sinne groß im Gesamtraum ist. In diesem Projekt ging es um die Frage, unter welchen Umständen Universalitätseigenschaften von Funktionen unter geeigneten Transformationen erhalten bleiben bzw. verändert werden - oder auch verschwinden. Dabei sind im Wesentlichen zwei unterschiedliche Situationen untersucht worden. In der ersten Phase ging es um die Frage, inwiefern die Eigenschaft der Universalität bei Taylorreihen holomorpher Funktionen unter geeigneter Faltung (Stichwort: Hadamard-Produkt) erhalten bleibt. Die Frage wird beantwortet im sogenannten Universality Preservation Theorem, einem der zentralen Ergebnisse dieser Untersuchungsreihe. In der zweiten Phase wurde abgeleitete Universalität für translations- und ableitungsuniverselle Funktionen untersucht. Tatsächlich hat sich im Zuge der Untersuchungen herausgestellt, dass entsprechende Fragen sinnvollerweise in allgemeinerem Rahmen für geeignete Familien erweiterter Differenzialoperatoren behandelt werden. Hier konnten interessante Quasi-Konjugiertheitsaussagen gemacht werden, die auch über die ursprüngliche Fragestellung hinaus von Interesse sein sollten. Außerdem sind notwendige und hinreichende Wachstumsbedingungen für entsprechende hyperzyklische ganze Funktionen erarbeitet worden.
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